図を書けば怖くない!中学入試の分かりやすい和差算の解き方と教え方

中学入試の算数の問題で、必ずといっていいほど出る問題は旅人算がありますが「和差算」も頻出単元ですね。和差算の問題の解き方を実際の過去問を使って解説していきます。

和差算の基本的な解き方

例題1:96cmの棒を切って、A、Bの2本に分けます。AはBよりも12cmだけ長くなるようにするためには、AとBをそれぞれ何cmにすればよいでしょうか。

教え方のポイント

  • 和差算には、2つの解き方があると教えてあげてください。
  • 図、公式、の2つです。本当は方程式もあるので解き方は3つありますが、小学生なので一応2つにしておきましょう。

図で解く方法

wasazan1

和(合計)は96cmですから、仮にAの棒の12cm分をのぞいた場合、残りは__cmの
棒2つ分(Bの棒2本分)になります。この__cmの棒2つ分長さは、96-12=84cmであり、__cm棒1本分の長さ(Bの棒の長さ)は42cmであることが分かります。

よって、Aの棒は42+12=54cm、Bの棒は42cmにすればよいことが分かります。

これは簡単な問題ですが、最初に問題文だけ出題してどのように解いているのか確認してみてください。中学受験ではこれぐらい優しい問題は1分で答えを導きだす必要があります。

公式で解く方法

和差算の公式
(2つの数の和と差がわかっているとき) 大きい方の数=(和+差)÷2 小さい方の数=(和-差)÷2

では、この公式に例題を当てはめてみましょう。

2つの棒の長さの和は96cm、差は12cmですから、

大きい方の数=(和+差)÷2=(96+12)÷2=108÷2=54…Aの棒
小さい方の数=(和-差)÷2=(96-12)÷2=40÷2=42…Bの棒

と簡単に解けてしまいます。

しかし、この理屈が算数が苦手な子は分かりません。公式を覚えていたとしても、理屈が分かっていないと応用問題では解くことができません。

なんでこの公式で解けるの?と説明を求めても、実はほとんどの受験生は答えられません。だから応用問題で間違えてしまうのです。

小さい方の数=(和-差)÷2

なぜ2で割るのだとか、和-差の意味が分からないといった場合、図で説明してあげましょう。先ほどの図で、小さいBの棒の長さを出すときにどのような手順を踏んだか思い出してみましょう。

wasazan1

和である96cmから差である12cmを引くと、__cmの2つ分の長さの84cmになります。つまり、これを2で割ると、Bの棒の長さがでることになります。

(96-12)÷2=40÷2=42

つまり(和-差)÷2です。

次に大きい方の棒の長さの公式の理屈です。

(和+差)というのは、もとの棒(96cm)に差(12cm)と同じだけの棒を新しく用意してつなげると考えます。この12cm分をBの棒の方に加えてみます。

wasazan2

するとAの棒と同じ長さのものが2本できます。これを2で割ればAの棒の長さ(大きい方)ということになります。

(96+12)÷2=108÷2=54

つまり(和+差)÷2です。言葉で説明すると以上になりますが、

和-差を求める理由は、長さを小さい方にそろえて小さい方の数の2倍を求めるため
和+差を求める理由は、長さを大きい方にそろえて大きい方の数の2倍を求めるため

そして、それぞれ2で割れば、小さい方の数と大きい方の数が出てくるわけです。長さをそろえるということができれば、どんな問題でも半分は正解したようなものです。もし、このような問題が解けないならば実際にやってみることが一番おすすめです。棒は用意をするのが難しいので、紙テープなどでよいでしょう。

お母さんが

「ここに96cmの紙テープがあるんだけど、2つに分けてくれない?」
「片方は、12cmだけ長くしてね。」

このように実際に経験するほうが理解が早くなります。

では、次に応用問題をやらせてみましょう。

応用問題1

例題2:長さ60mの木を切って、A、B、Cの3本の棒をつくりました。AはBより12m長く、BはCより6m長くなっています。このときA、B、Cそれぞれの棒の長さは何mですか?

これが解けるようになれば、3つでも4つでもどんな数が来ても解けるようになります。とにかく図にしてみるのが一番でしょう。慣れてくると図にしなくても解くことができるようになります。

分かっていることを図にします。

wasazan3

ここまでで第一段階終了です。次にすることは、長さをそろえる作業です。

一番長いAの棒に長さをそろえてみましょう。(Bの棒でもCの棒でも長さを合わせれば答えは導き出せます。割愛しますがやってみてください。)

Bの棒に12mを足すと、Aの棒と同じ長さになります。
Cの棒に18mを足すと、Aの棒と同じ長さになります。←(12m+6m)

これで3本の棒が同じ長さになりました。
Aの棒が3本分で、60m(和の合計)+12m+18m=90mです。

答え

Aの棒の長さは、90÷3で、30m
Bの棒の長さは、30m-12mで、18m(Aよりも12m短いから)
Cの棒の長さは、18m-6で、12m(Bよりも6m短いから)

長さをそろえることができたら、和差算は解けるようになります。

応用問題2

自作問題を作ることにチャレンジしてみてください。例えば以下のような問題はどなたでも作れます。

お母さんと花子さんでイオンにでかけました。花子さんは、ボールペンとえんぴつを6本ずつ購入しました。お母さんは、1140円支払いました。ボールペン1本はえんぴつ1本より50円高かったようです。えんぴつ1本の値段を求めなさい。

実際にスーパーなどに行きレシートで答え合わせするとかなり記憶に残りやすのでおすすめな方法です。

解き方

wasazan4
えんぴつ6本に300円を足すと、ボールペンの金額と同じになります。

これでボールペンとえんぴつの金額が同じになりました。
1140円(和の合計)+300円 =1440円

ボールペンの金額は、1440÷2で720円
720円÷6=120円 ← ボールペン1本の値段

えんぴつの金額は、120円-50円で、70円(ボールペンよりも50円安いから)

答え

えんぴつ1本の値段は70円

まとめ

算数は公式を覚えているか?を問題作成者は求めているのではなくてどのように解くか、ということに着目します。もちろん公式を覚えておくことはとても大切ですが、日々の生活の中で算数にふれることが一番苦手を克服する方法です。

中学入試では「和差算」は必ずといっていいほど出題されるものですが、普段の生活の中で問題を作成することも可能ですから積極的にチャレンジしてみましょう。文章問題でも何でも図解にする。これを早いうちに行っていくことがのちに財産になりますのでおすすめな方法です。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。